把f(z)=1/(3z-2)分别在z=0和z=2展为泰勒级数.
第1题
用柱面坐标或球面坐标把三重积分f(x,y,z)dV化为三次积分,其中Ω分别是由如下各组不等式所确定的区域:
(1)z≥x2+y2,z≤2-√(x2+y2);
(2)x2+y2+z2≤a2,x2+y2+z2≤2az;
(3)x2+y2+z2≤a2,z2≤3(x2+y2);
(4)x2+y2+z2≤a2,x≥0,y≥0,z≤0。
第2题
求把上半平面Im(z)>0映射成单位圆|ω|<1的分式线性映射ω=f(z),并满足条件:
(1)f(i)=0.f(-1)=1;
(2)f(i)=0,argf'(i)=0;
(3)f(1)=1,
第3题
设函数f(z)在区域r0<|z|<∞内解析,C表示圆|z|=r(0<r0<r).我们把积分
定义作为函数f(z)在无穷远点的留数,记作Res(f,∞),在这里积分中的C-表示积分是沿着C按顺时针方向取的。试证明:如果a-1表示f(z)在r0<|z|<+∞的罗朗展式中1/z的系数,那末Res(f,∞)=-a-1
第4题
求函数沿正向单位圆周的积分值,设单位圆的圆心分别在:
(1)z=1;(2)z=1/2;(3)z=-1;(4)z=-i.如图3.10.
第5题
设f(z)在|z|1)内解析且f(0)=1,试计算积分
并由此证明
(1);
(2);
(3)再若Re|f(z)|≥0,则|Re|f'(0)|≤2.
第6题
函数f(z)在0<|z|<1内解析,且沿任何圆周C:|z|=r,0<r<1的积分等于零,问f(z)是否必需在z=0处解析?试举例说明之
第9题
设函数f(1/z)在z=0解析.那么我们说f(z)在z=∞解析。下列函数中,哪些在无穷远点解析?
第10题
第11题
若在|z|<1内解析,且Re[f(z)]>0,试证|an|≤2Rea0(n=1,2,...)。