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[主观题]
证明一个特征为0的域一定含有一个与有理数域同构的子域;一个特征为p＞0的域一定含有一个与Zp同构的子域。
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第7题
第8题
设V是复数域上的n维线性空间，
是V的线性变换，且
证明：
1)如果λ0是
的一特征值，那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
第9题
第10题
令V是实数域R上一个三维向量空间，σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是
(i)求出σ的最小多项式p(x)，并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p1(x)与p2(x)的乘积;
(ii)令Wi={ξ∈V|pi(σ)ξ=0}，i=1，2。证明，Wi是σ的不变子空间，并且V=W1⊕W2;
(iii)在每一子空间Wi中选取一个基，凑成V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。
a,b为有理数,证明:
为域(这里+,·为数加和数乘运算).
是整系数多项式，证明:若ac+bc为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.
